数学新发现——无理整数
作者：胡文胜
摘要：发现原来的无理数，只有无理小数，论述无理整数的存在意义。
我发现整数是和纯小数是小数点对称的，1~.1, 10~.01, 0~.0, 很快就发现对于无限循环纯小数，可以对称无限循环整数，进而发现无理数可以对称无限不循环整数！这些整数，具有明确不同的低位，却有无限的高位。
然而接下来的事就不那么美妙，这样的数是无法比较大小的，都是无穷大，但它们中的大部分是可以计数的，因为它们的低位不同，而且它们是真正的整数，没有小数位！
我们无法通过有限数的运算得到它们。
这样的整数以前从未有人注意过，只有一个模糊的抽象概念无穷大，和它们类似，但不象它们有明确的定义和显现易区分的低位。我们先称它们为泛整数，这样好理解，传统的整数，类似于传统有限小数的定义，虽然谁都知道它有限，但又无法确定它的限在哪里。
那么现在我们可以认识到，整数是和纯小数完全对称了，包括有理纯小数和无理纯小数。关于小数比整数多的证明都是对的，因为小数是对每个不同的整数，复制了一份纯小数。对于不同的小数，再复制一份整数，它们就会又对称了。就是循环小数1.111...对称带小数循环整数...111.1。
现在整数未必象以前理解的那么有理了，无限不循环整数，具有无理数特征，它与无限循环数或有限数做加减乘除运算，将得到无限非循环数。而无限循环整数之间的加减乘除，将得到有限数或无限循环数，而不能得到无限不循环数。
除了以上规律，我们对无理整数没有办法、开方、log、计算正弦、余弦等，完全不知道结果。这种数在取模以后的运算有意义，在计算机和加密算法中是有应用的，只是以前无人注意过。
两个补充问题：
.099...9循环应等于.1，而这会对应成两个整数，因此需要认为这是不同的数。
9999...9循环+1，是个奇点，不能使无限循环数加有限数仍得无限循环数。
细节问题或有考虑不周，但大面上没有问题。
这个基础学科的小发现，是人类科学史上的一件大事，因为几乎所有人都能明白它的含义，都有机会发现它，就像一个苹果掉到牛顿面前，而发现的万有引力。
一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。
矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。
人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；同样，引进分数使乘法有了逆运算——除法，否则许多实际问题也不能解决。但是接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。
方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。
几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此。在十九世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、乘方、开方求出根来；古希腊几何三大问题，即三等分任意角、倍立方体、化圆为方不能通过圆规、直尺作图来解决等等。
这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。这种发现给这些学科带来极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。比如说，代数学从此以后向抽象代数学方面发展，而求解方程的根变成了分析及计算数学的课题。在第三次数学危机中，这种情况也多次出现，尤其是包含整数算术在内的形式系统的不完全性、许多问题的不可判定性都大大提高了人们的认识，也促进了数理逻辑的大发展。
这种矛盾、危机引起的发展，改变面貌，甚至引起革命，在数学发展历史上是屡见不鲜的。第二次数学危机是由无穷小量的矛盾引起的，它反映了数学内部的有限与无穷的矛盾。数学中也一直贯穿着计算方法、分析方法在应用与概念上清楚及逻辑上严格的矛盾。在这方面，比较注意实用的数学家盲目应用。而比较注意严密的数学家及哲学家则提出批评。只有这两方面取得协调一致后，矛盾才能解决。后来算符演算及δ函数也重复了这个过程，开始是形式演算、任意应用，直到施瓦尔兹才奠定广义函数论的严整系统。
对于第三次数学危机，有人认为只是数学基础的危机，与数学无关。这种看法是片面的。诚然，问题涉及数理逻辑和集合论，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现代数学如果脱离无穷集合就可以说寸步难行。因为如果只考虑有限集合或至多是可数的集合，那绝大部分数学将不复存在。而且即便这些有限数学的内容，也有许多问题要涉及无穷的方法，比如解决数论中的许多问题都要用解析方法。由此看来，第三次数学危机是一次深刻的数学危机。
数学发现史:
人类对数的认识，最早从自然数开始，自然数加自然数得自然数；自然数乘以自然数得自然数。(现在定义0是自然数，和我们以前学习的定义不大一样)
第一次数学大发现负数：减数大于被减数，自然数减自然数得整数(扩展)。(对应出负整数、正整数，扩展出整数为自然数与负整数总称)
第二次数学大发现分数：整数除以整数得整数或分数(对应)，分数可以表示为有限小数和无限循环小数。(对应出分数，扩展出有理数，有理数为整数和分数总称)
第三次数学大发现无理数：不能表示为两个整数相除的小数，为无理数。无理数为无限不循环小数。(对应出无理数，扩展实数为有理数和无理数总称)
第四次数学大发现无限循环整数和无理整数：
无限循环数和有限数，任意做加减乘除，都可以得到无限循环数或有限数。(对应出无限循环整数，扩展泛有理数为有限数和无限循环数的总称，是对有理数的扩展)
与无限循环数或有限数任意做加减乘除，都不能得到无限循环数或有限数，新定义为泛无理数。(对应出，泛无理数为无理数和无限不循环整数的总称)
或者将原无理数定义为无理小数更合理。
